这篇文章名字完全看不懂，只知道大概讲的是feature descriptors就硬着头皮开始看了。从能看懂的地方开始记录笔记。
对于三角形来说，可以用顶点的坐标 x1, x2, x3来描述，或者用个2x3的矩阵,x = [x1, x2, x3]。所以说三角形可以看做6维空间的一个点。如果我们在空间中移动这个三角形，那它的坐标就会改变，但是三角形本身没变。所以我们用shape spaces来表述三角形对于移动的不变性。
对于欧几里得坐标系和刚体运动，三角形变换的时候距离，角度，方向都不改变。这样一来变换就以坐标矩阵x乘以一个旋转矩阵R然后加上一个平移矩阵T描述。如果g = (R,T)代表刚体运动，gx代表经过刚体运动的坐标，那么x' = gx, x' = Rx + T。如果再加上尺度，g = ($\alpha$R,T),x' = $\alpha$Rx + T,这就是仿射变换。三角形的本质就是无论如何变换坐标都不会变的东西。
这样一来，假设有两个三角形，坐标分别是x,y，我们就不能用d(x-y)=||x-y||，因为同一个三角形在不同坐标系下有不同坐标，d就不为0了。我们必须比较所有的点，而且要考虑到所有变换情况下点距离的最小值。（比较两个三角形都成了优化问题了吗...）
为了不计算所有可能的情况，我们需要canonization。对三角形x,我们让x1当原点，所以x1=0，然后用T=-x1来移动其它点，所有三角形就都可以用[0,x2-x1,x3-x1]=[0,x2',x3']来表示。这样我们就少了两个自由度。所有三角形就可以用具有平移不变性的[x2',x3']来表示。接下来处理旋转的问题。我们可以用R让x2'转到水平轴。对于尺度，我们可以乘以$\alpha$，让处于水平轴的x2'到原点距离为1。经过这个过程，再比较三角形的时候就直接用x-y就好，没必要求解最小值问题了,而且只需要x3'来表示三角形，这就把它从6维降到了二维（三体人的维度打击的数学原理？）。
不过这样带来一个问题。在原来的六维空间，三角形无论相加还是尺度变换都得到三角形。而在新的二维空间中就不成立了。如果原来的三角形是高斯分布，那么二维空间中的就不是了。
canonization的过程不是唯一的。我们可以用x1,x2,x3中的任何一个来当原点。但是有些canonization却不是最理想的。比如选取最左边的点最为原点，那么三角形旋转的时候，最左边的点变了，canonization也就变了。更好的方法是选取centeroid。
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